Prímszámok tulajdonságai
Lássuk, milyen különleges tulajdonságokkal rendelkeznek a prímszámok
Osztók száma: egy prímszámnak pontosan két különböző pozitív osztója van: 1 és önmaga. Például, a 5 egy prímszám, mert csak 1-gyel és 5-tel osztható.
Egyetlen páros prímszám: a 2 az egyetlen páros prímszám. Az összes többi prímszám páratlan, mert ha egy páros számot osztunk el 2-vel, mindig egész számot kapunk, így több mint két osztója lenne.
Nincs közös osztójuk: két különböző prímszámnak nincs közös osztója (kivéve 1-et). Ez azt jelenti, hogy két különböző prímszám relatív prímek.
Szorzatok: minden összetett szám felbontható prímszámok szorzatára. Ezt prímtényezős felbontásnak hívjuk. Például, a 30 prímtényezős felbontása 2 x 3 x 5.
Prímek előfordulása a természetes számok között
A prímszámok nem egyenletesen oszlanak el a természetes számok között. Az alábbiakban néhány érdekességet találsz arról, hogyan fordulnak elő a prímek:
Kisebb számok között sűrűbbek: a kisebb számok között gyakrabban találunk prímszámokat. Ahogy a számok egyre nagyobbak lesznek, a prímszámok ritkábbá válnak.
Ikerprímszámok: vannak úgynevezett ikerprímszámok, amelyek csak 2 különbséggel vannak egymástól. Például, a 11 és 13 vagy a 17 és 19 ikerprímek.
Prímszámok közötti távolság: általánosságban elmondható, hogy a prímszámok közötti távolság növekszik, ahogy haladunk a nagyobb számok felé. Például, az 5 és 7 között csak 1 szám van (6), de az 89 és 97 között már 7 szám van.
Végtelenségük bizonyítása
Egy érdekes kérdés, hogy vajon véges vagy végtelen sok prímszám létezik-e? Ezt a kérdést már az ókorban is feltették, és Euklidész, az ókori görög matematikus, bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám létezik.
Euklidész bizonyítása a következő gondolatmenetre épül:
- Tegyük fel, hogy van véges sok prímszám. Legyenek ezek p1, p2, p3, …, pn.
- Most alkossunk egy új számot úgy, hogy összeszorozzuk ezeket a prímszámokat, és hozzáadunk 1-et: N = p1 * p2 * p3 * … * pn + 1.
- Ez a szám, N, biztosan nagyobb, mint bármelyik prímszám, amit eddig felsoroltunk.
- Most nézzük meg, hogy N osztható-e bármelyik prímszámunkkal. Ha bármelyik p osztója N-nek, akkor p osztója N – (p1 * p2 * p3 * … * pn)-nek is. De ez az érték éppen 1, így p osztója 1-nek kellene legyen, ami lehetetlen.
- Tehát N-nek kell lennie egy új prímszámnak vagy egy összetett számnak, amelynek prímtényezői között egy új prímszám van. Ez ellentmond annak a feltevésnek, hogy véges sok prímszám létezik.
Ez a bizonyítás megmutatja, hogy bármilyen nagy számig is jutsz, mindig találsz újabb prímszámokat. Így tehát végtelen sok prímszám létezik.