A prímtényezős felbontás egy pozitív egész szám kifejezése prímszámok szorzataként. Egy prímszám olyan szám, amelynek pontosan két osztója van: 1 és önmaga. Például, 2, 3, 5, 7 stb. prímszámok.

A prímtényezős felbontás fontos, mert minden pozitív egész szám egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára. Ez az egyértelműség a számelmélet egyik alapvető tételén, az úgynevezett alaptételen (vagy a számelmélet alaptételén) alapul. Ez a tétel kimondja, hogy minden pozitív egész számnak van egy egyedi prímtényezős felbontása, a tényezők sorrendjétől eltekintve.

Hogyan történik a felbontás?

A prímtényezős felbontás lépései:

1. Kezdés a legkisebb prímszámmal (2):
   • Ha a szám páros, oszd el 2-vel, és az eredményt írd fel a tényezők közé.
   • Ismételd, amíg a szám már nem osztható 2-vel.
2. Folytatás a következő prímszámokkal (3, 5, 7 stb.):
   • Oszd el a számot a következő legkisebb prímszámmal.
   • Ismételd meg az eljárást minden prímszámra, amíg a maradék szám nem lesz 1.
3. Addig folytasd az osztást, amíg a szám el nem fogy:
   • Minden lépésben a jelenlegi számot osztjuk a legkisebb lehetséges prímszámmal, amellyel osztható.
   • Az osztásokat addig folytatjuk, amíg az összes tényezőt meg nem találjuk.

Feladat

Próbáljuk meg a 630-at tényezőkre bontani:

Osztás 2-vel:

• • 630 ÷ 2 = 315 (2 az egyik tényező)

Osztás 3-mal:

• • 315 ÷ 3 = 105 (3 az egyik tényező)

Osztás 3-mal:

• • 105 ÷ 3 = 35 (ismét 3 az egyik tényező

Osztás 5-tel:

• • 35 ÷ 5 = 7 (5 az egyik tényező)

1. Osztás 7-tel:
   • 7 ÷ 7 = 1 (7 az egyik tényező)

Tehát a 630 prímtényezős felbontása: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7